Calcul de la volatilité d'un portefeuille
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En bourse, la notion de rendement doit toujours être mis en rapport avec le risque. La gestion de portefeuille a pour objectif de maximiser ce rapport rendement/risque. Le rendement du portefeuille est facile à obtenir, il suffit de faire une moyenne des performances des différents titres présents mais pour déterminer le risque, il faut calculer la volatilité du portefeuille. Pour y arriver, il faut utiliser les notions de variance et covariance.
La variance et la covariance sont des notions fondamentales sur les marchés boursiers. Elles sont utilisées dans de nombreuses formules de gestion du risque. Dans cette fiche, nous allons définir ces notions, indiquer leurs méthode de calcul, lister leurs propriétés et donner un exemple concret. Puis, nous verrons la notion de variance au sein d'un portefeuille pour déterminer son risque global.
- Définition : La variance est une mesure de la dispersion d'une série par rapport à sa moyenne. En d'autres termes, c'est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne ou encore la moyenne des carrées moins le carré de la moyenne. La variance est très utilisée dans les calculs de statistiques bien que l'on utilise davantage l'écart type qui correspond à la racine de la variance. La variance est comprise entre 0 et 1.
- Méthode de calcul :
Avec :
Xi : Cours de l'actif X à l'instant i
X : Moyenne du cours de l'actif X
N : Nombre de périodes
E : Espérance mathématique
Dans le calcul, on met les écarts à la moyenne au carré afin d'éviter que des écarts positifs ou négatifs ne s'annulent.
Pour calculer la variance de deux variables X et Y, le calcul est le suivant (avec cov = covariance) :
- Propriétés :
- La variance est toujours positive ou nulle. En effet, l'espérance mathématique est mise au carré dans le calcul.
- Si la variance est nulle, c'est que la variable est une constante (toute la série est la même).
- SI l'on déplace la distribution d'une série en y ajoutant ou retirant une variable a, la variance reste la même.
- Exemple :
Prenons un exemple fictif avec les données de cotations de BNP
Calcul de la moyenne des variations :
(5.38-3.74+7.20+2.12-12.34-1.34+6.73-3.34+4.65+16.74-2.10+1.95) / 12 = 1.8208%
Sa variance est donc de :
(+0,0538+0,018208)²+(-0.374+0,018208)²+(0,0720+0,018208)²+…+(-0,0195+0,018208)²/12 = 0.005168
Plus la variances est faible, plus le cours reste proche de sa moyenne et donc plus l'incertitude est faible.
- Définition : L'écart type mesure la dispersion d'une variable autour de sa moyenne. Il correspond à la racine carré de la variance. En d'autres termes, il s'agit de la volatilité d'une variable qui permet de mesurer le risque. L'écart type est bien plus utilisé que la variance par les différents investisseurs et les gérants de portefeuille.
- Méthode de calcul :
- Propriétés :
. L'écart type n'est jamais négatif
. L'écart type est sensible aux valeurs extrêmes qui vont déformer le calcul de la volatilité
. Plus la dispersion par rapport à la moyenne est importante, plus l'écart type est grand
. L'écart type et égale à 0 si toutes les données ont la même valeur
- Exemple :
D'après notre exemple sur la variance, on peut calculer l'écart type (noté 6) qui correspond à la racine carré de la variance. Ainsi :
6 = √ (0.00616) = 0.07848 soit 7.848%.
C'est la volatilité de l'action BNP sur l'année. Pour savoir si l'action est volatile, il vous suffit de la comparer à la volatilité de son marché de référence, le CAC40. Cet volatilité peut également servir pour comparer plusieurs actions du même secteur d'activité et ainsi orienter vos décisions d'investissements selon le couple rentabilité/risque que vous avez choisi.
- Définition : La covariance a le même objectif que la variance, elle permet de mesurer la dispersion par rapport à la moyenne. Toutefois, elle va d’étudier les variations simultanées de deux variables par rapport à leur moyenne respective. La covariance va donc permettre de connaître la corrélation qu'il existe entre ces deux variables. Plus la covariance est faible, plus la corrélation est faible, les variables sont alors indépendantes. Le coefficient de corrélation est compris entre -1 et 1.
- Méthode de calcul : La covariance se calcul de la même manière que la variance.
Avec
Xi = Cours de l'actif X à l'instant i
Yi = Cours de l'actif Y à l'instant i
X = Moyenne des cours de l'actif X
Y = Moyenne des cours de l'actif Y
- Propriétés :
. Si X et Y sont indépendantes alors Cov (X, Y) = 0
. Si la covariance est nulle et que les variables sont aléatoires alors elle ne sont pas corrélées.
- Exemple : Pour illustrer la covariance, il faut donc comparer deux variables. Nous allons reprendre notre exemple du haut avec l'action BNP que nous allons comparer avec l'action Crédit Agricole sur l'année. Voici les variations mensuelles des deux titres :
Calcul de la moyenne des variations pour BNP :
(5.38-3.74+7.20+2.12-12.34-1.34+6.73-3.34+4.65+16.74-2.10+1.95) / 12 = 1.8208%
Calcul de la moyenne des variations pour Crédit Agricole :
(4.21-2.50+5.85-1.78-9.68-4.34+5.21-4.89+3.96+15.78-3.12+1.87) / 12 = 0.0880%
Cov (BNP.; Crédit Agricole) =
[(+0,0538+0,018208)*(0.0421+0.088)+(-0.374+0,018208)*(-0.0250+0.088)+…
+(-0,0195+0,018208)*(0.0187+0.088)]/12 = 0.004981
La covariance est positive ce qui signifie que les deux titres ont fluctué de concert. Afin de diversifier son portefeuille au maximum, il faut essayer de trouver des valeurs dont la covariance est le plus proche possible de zéro. Il faut donc effectuer plusieurs combinaisons de calcul pour déterminer la valeur à prendre dans le portefeuille dans une optique de diversification.
- Définition : La variance entre les différents actifs d'un portefeuille permet d'estimer la variance d'un portefeuille et donc son risque. La variance d'un portefeuille est égale est la somme des covariances entre les différents actifs, pondérée par rapport à la proportion de chaque actif dans le portefeuille.
- Méthode de calcul :
où :
Xi proportion de l'actif i dans le portefeuille
σi² est l'écart-type des variations de l'actif i.
Yj proportion de l'actif j dans le portefeuille
cov(i,j) est la covariance entre les actifs i et j.
N est le nombre d'actifs
Pour calculer la variance d'un portefeuille, il est donc nécessaire de calculer la matrice de variance-covariance des différents actifs composant le portefeuille :
- Exemple : Prenons un portefeuille avec 3 actifs (BNP, Crédit Agricole, Peugeot) avec les variations suivantes :
On peut alors calculer les variances et covariances afin de construire la matrice Variance-Covariance du portefeuille:
V(BNP) = 0.005168
V(Crédit Agricole) = 0.004423
V(Peugeot) = 0.002112
Cov (BNP; Crédit Agricole) = 0.004981
Cov (Crédit Agricole; Peugeot) = -0.0002735
Cov (BNP; Peugeot) = -0.0007308
On peut donc construire la matrice variance-covariance. Dans notre exemple, le portefeuille sera composé de 20% d'actions BNP, 30% d'actions Crédit Agricole et 50% d'actions Peugeot.
En additionnant les sous totaux, on obtient la variance suivante pour ce portefeuille : 0.001957975
L'écart type du portefeuille est donc égal à 0.04424 soit un risque mensuel attendu de 4.4424% pour ce portefeuille
Pour obtenir l'écart type annuel, il faut multiplier l’écart type mensuel par racine carré de 12. On obtient alors un risque attendu de 15.32% pour ce portefeuille. La volatilité annuelle du portefeuille est donc de 15.32%. Le portefeuille est donc risqué.
La variance et la covariance sont des notions fondamentales sur les marchés boursiers. Elles sont utilisées dans de nombreuses formules de gestion du risque. Dans cette fiche, nous allons définir ces notions, indiquer leurs méthode de calcul, lister leurs propriétés et donner un exemple concret. Puis, nous verrons la notion de variance au sein d'un portefeuille pour déterminer son risque global.
Variance
- Définition : La variance est une mesure de la dispersion d'une série par rapport à sa moyenne. En d'autres termes, c'est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne ou encore la moyenne des carrées moins le carré de la moyenne. La variance est très utilisée dans les calculs de statistiques bien que l'on utilise davantage l'écart type qui correspond à la racine de la variance. La variance est comprise entre 0 et 1.
- Méthode de calcul :
Avec :Xi : Cours de l'actif X à l'instant i
X : Moyenne du cours de l'actif X
N : Nombre de périodes
E : Espérance mathématique
Dans le calcul, on met les écarts à la moyenne au carré afin d'éviter que des écarts positifs ou négatifs ne s'annulent.
Pour calculer la variance de deux variables X et Y, le calcul est le suivant (avec cov = covariance) :
- Propriétés :
- La variance est toujours positive ou nulle. En effet, l'espérance mathématique est mise au carré dans le calcul.
- Si la variance est nulle, c'est que la variable est une constante (toute la série est la même).
- SI l'on déplace la distribution d'une série en y ajoutant ou retirant une variable a, la variance reste la même.
- Exemple :
Prenons un exemple fictif avec les données de cotations de BNP
Calcul de la moyenne des variations :
(5.38-3.74+7.20+2.12-12.34-1.34+6.73-3.34+4.65+16.74-2.10+1.95) / 12 = 1.8208%
Sa variance est donc de :
(+0,0538+0,018208)²+(-0.374+0,018208)²+(0,0720+0,018208)²+…+(-0,0195+0,018208)²/12 = 0.005168
Plus la variances est faible, plus le cours reste proche de sa moyenne et donc plus l'incertitude est faible.
Ecart Type
- Définition : L'écart type mesure la dispersion d'une variable autour de sa moyenne. Il correspond à la racine carré de la variance. En d'autres termes, il s'agit de la volatilité d'une variable qui permet de mesurer le risque. L'écart type est bien plus utilisé que la variance par les différents investisseurs et les gérants de portefeuille.
- Méthode de calcul :
- Propriétés :
. L'écart type n'est jamais négatif
. L'écart type est sensible aux valeurs extrêmes qui vont déformer le calcul de la volatilité
. Plus la dispersion par rapport à la moyenne est importante, plus l'écart type est grand
. L'écart type et égale à 0 si toutes les données ont la même valeur
- Exemple :
D'après notre exemple sur la variance, on peut calculer l'écart type (noté 6) qui correspond à la racine carré de la variance. Ainsi :
6 = √ (0.00616) = 0.07848 soit 7.848%.
C'est la volatilité de l'action BNP sur l'année. Pour savoir si l'action est volatile, il vous suffit de la comparer à la volatilité de son marché de référence, le CAC40. Cet volatilité peut également servir pour comparer plusieurs actions du même secteur d'activité et ainsi orienter vos décisions d'investissements selon le couple rentabilité/risque que vous avez choisi.
Covariance
- Définition : La covariance a le même objectif que la variance, elle permet de mesurer la dispersion par rapport à la moyenne. Toutefois, elle va d’étudier les variations simultanées de deux variables par rapport à leur moyenne respective. La covariance va donc permettre de connaître la corrélation qu'il existe entre ces deux variables. Plus la covariance est faible, plus la corrélation est faible, les variables sont alors indépendantes. Le coefficient de corrélation est compris entre -1 et 1.
- Méthode de calcul : La covariance se calcul de la même manière que la variance.
Avec
Xi = Cours de l'actif X à l'instant i
Yi = Cours de l'actif Y à l'instant i
X = Moyenne des cours de l'actif X
Y = Moyenne des cours de l'actif Y
- Propriétés :
. Si X et Y sont indépendantes alors Cov (X, Y) = 0
. Si la covariance est nulle et que les variables sont aléatoires alors elle ne sont pas corrélées.
- Exemple : Pour illustrer la covariance, il faut donc comparer deux variables. Nous allons reprendre notre exemple du haut avec l'action BNP que nous allons comparer avec l'action Crédit Agricole sur l'année. Voici les variations mensuelles des deux titres :
Calcul de la moyenne des variations pour BNP :
(5.38-3.74+7.20+2.12-12.34-1.34+6.73-3.34+4.65+16.74-2.10+1.95) / 12 = 1.8208%
Calcul de la moyenne des variations pour Crédit Agricole :
(4.21-2.50+5.85-1.78-9.68-4.34+5.21-4.89+3.96+15.78-3.12+1.87) / 12 = 0.0880%
Cov (BNP.; Crédit Agricole) =
[(+0,0538+0,018208)*(0.0421+0.088)+(-0.374+0,018208)*(-0.0250+0.088)+…
+(-0,0195+0,018208)*(0.0187+0.088)]/12 = 0.004981
La covariance est positive ce qui signifie que les deux titres ont fluctué de concert. Afin de diversifier son portefeuille au maximum, il faut essayer de trouver des valeurs dont la covariance est le plus proche possible de zéro. Il faut donc effectuer plusieurs combinaisons de calcul pour déterminer la valeur à prendre dans le portefeuille dans une optique de diversification.
Variance d'un Portefeuille
- Définition : La variance entre les différents actifs d'un portefeuille permet d'estimer la variance d'un portefeuille et donc son risque. La variance d'un portefeuille est égale est la somme des covariances entre les différents actifs, pondérée par rapport à la proportion de chaque actif dans le portefeuille.
- Méthode de calcul :
où :
Xi proportion de l'actif i dans le portefeuille
σi² est l'écart-type des variations de l'actif i.
Yj proportion de l'actif j dans le portefeuille
cov(i,j) est la covariance entre les actifs i et j.
N est le nombre d'actifs
Pour calculer la variance d'un portefeuille, il est donc nécessaire de calculer la matrice de variance-covariance des différents actifs composant le portefeuille :
- Exemple : Prenons un portefeuille avec 3 actifs (BNP, Crédit Agricole, Peugeot) avec les variations suivantes :
On peut alors calculer les variances et covariances afin de construire la matrice Variance-Covariance du portefeuille:
V(BNP) = 0.005168
V(Crédit Agricole) = 0.004423
V(Peugeot) = 0.002112
Cov (BNP; Crédit Agricole) = 0.004981
Cov (Crédit Agricole; Peugeot) = -0.0002735
Cov (BNP; Peugeot) = -0.0007308
On peut donc construire la matrice variance-covariance. Dans notre exemple, le portefeuille sera composé de 20% d'actions BNP, 30% d'actions Crédit Agricole et 50% d'actions Peugeot.
En additionnant les sous totaux, on obtient la variance suivante pour ce portefeuille : 0.001957975
L'écart type du portefeuille est donc égal à 0.04424 soit un risque mensuel attendu de 4.4424% pour ce portefeuille
Pour obtenir l'écart type annuel, il faut multiplier l’écart type mensuel par racine carré de 12. On obtient alors un risque attendu de 15.32% pour ce portefeuille. La volatilité annuelle du portefeuille est donc de 15.32%. Le portefeuille est donc risqué.
